數學(xué)中的重大問(wèn)題通常不總會(huì )像其他科學(xué)領(lǐng)域的謎團一樣能引起外界的興趣?！皩τ跀祵W(xué)研究是什么樣子或它的意義是什么，許多人仍然困惑不已?！泵苄髮W(xué)的數學(xué)家Wei Ho說(shuō)。盡管人們經(jīng)常誤解她工作的性質(zhì)，但Ho說(shuō)這解釋起來(lái)可能并不難?！拔以诰蹠?huì )上的閑聊話(huà)題總是關(guān)于橢圓曲線(xiàn)?！彼a充道。Ho經(jīng)常問(wèn)參加聚會(huì )的人：“你記得中學(xué)學(xué)過(guò)的拋物線(xiàn)和圓嗎？一旦你開(kāi)始創(chuàng )建三次方程，事情就會(huì )變得非常困難。。。。。。關(guān)于它們有很多懸而未決的問(wèn)題?！?/p>

一個(gè)名為貝赫和斯維訥通-戴爾猜想（Birch and Swinnerton-Dyer conjecture）的著(zhù)名未解之謎涉及橢圓曲線(xiàn)方程解的性質(zhì)，它是克雷數學(xué)研究所（Clay Mathematics Institute，CMI）創(chuàng )始科學(xué)顧問(wèn)委員會(huì )選定的七個(gè)千禧年大獎難題之一，這些選出的問(wèn)題被該研究所描述為“數學(xué)家在千年之交正在努力解決的問(wèn)題中最難的一批”。2000年5月24日，在巴黎舉行的一次特別活動(dòng)中，該研究所宣布為首個(gè)證明或推翻任意一個(gè)難題的人提供100萬(wàn)美元的獎勵。2018 年修訂的規則規定，結果必須被“全球數學(xué)界普遍接受”。

2000 年的公告為人們提供了一個(gè)價(jià)值700萬(wàn)美元的“理由”來(lái)解決這七個(gè)問(wèn)題：黎曼猜想、貝赫和斯維訥通-戴爾猜想、P/NP 問(wèn)題、楊-米爾斯存在性和質(zhì)量間隙、龐加萊猜想、 納維-斯托克斯存在性與光滑性，以及霍奇猜想。盡管聲勢浩大，還有金錢(qián)獎勵，但21年后只有龐加萊猜想得到了證明。

意料之外的答案

2002-2003年，當時(shí)在俄羅斯科學(xué)院斯特克洛夫數學(xué)研究所的俄羅斯數學(xué)家Grigori Perelman在網(wǎng)上分享了與他解答龐加萊猜想的相關(guān)工作。2010年，CMI宣布Perelman已經(jīng)證明了這個(gè)猜想，并在此過(guò)程中也解決了已故數學(xué)家William Thurston的相關(guān)幾何化猜想。不過(guò)，很少與公眾接觸的Perelman拒絕了獎金。

據CMI所說(shuō)，龐加萊猜想聚焦于一個(gè)拓撲問(wèn)題，即三維球面是否“固有”被稱(chēng)為“單連通”的特性。這個(gè)特性意味著(zhù)如果你用橡皮筋包裹球體的表面，在不扯斷或讓它從表面離開(kāi)的前提下，你可以將橡皮筋壓縮到一個(gè)點(diǎn)。二維球面或甜甜圈孔是單連通的，但甜甜圈（或其他帶有孔的形狀）不是。

牛津大學(xué)數學(xué)家兼CMI所長(cháng)Martin Bridson將Perelman的證明描述為“過(guò)去20年當之無(wú)愧的重大事件之一”和“我們對三維空間的理解的思想桂冠”。這一發(fā)現可能會(huì )在未來(lái)帶來(lái)更多見(jiàn)解?！白C明需要新的工具，這些工具本身正應用于數學(xué)和物理學(xué)中，影響深遠?！备ゼ醽喆髮W(xué)的數學(xué)家Ken Ono說(shuō)。

Ono一直專(zhuān)注于另一個(gè)千年問(wèn)題：黎曼猜想，它涉及質(zhì)數及其分布。2019 年，他和他的同事在《美國科學(xué)院院刊》上發(fā)表了一篇論文，重新審視了一種古老的，已經(jīng)被棄用的方法，并用它來(lái)尋求答案。在隨附的評論中，普林斯頓高等研究院的數學(xué)家、1974年數學(xué)最高榮譽(yù)菲爾茲獎獲得者Enrico Bombieri將這項研究描述為“重大突破”。然而Ono表示，將他的工作描述為“即將證明黎曼猜想”是沒(méi)有根據的。

反面的進(jìn)展

到目前為止，“列出的問(wèn)題中僅有一個(gè)已經(jīng)得到解決”這一事實(shí)對專(zhuān)家來(lái)說(shuō)并不奇怪——畢竟，這些謎題已經(jīng)存在很長(cháng)時(shí)間，而且解答難度驚人。普林斯頓大學(xué)的數學(xué)家、2014年菲爾茲獎獲得者M(jìn)anjul Bhargava表示，目前“已解決的問(wèn)題數量比我預期的要多一個(gè)”。Bhargava本人最近報告了多項與貝赫和斯維訥通-戴爾猜想相關(guān)的成果。在其中一項成果里，他說(shuō)他和他的同事“證明超過(guò) 66%的橢圓曲線(xiàn)滿(mǎn)足貝赫和斯維訥通-戴爾猜想”。

解答這些問(wèn)題都不容易，但有些問(wèn)題可能會(huì )格外棘手。P/NP問(wèn)題看起來(lái)很難解決，以致于得克薩斯大學(xué)奧斯汀分校的計算機科學(xué)家Scott Aaronson稱(chēng)其“顯示了我們的無(wú)知”。這個(gè)問(wèn)題涉及容易驗證的問(wèn)題（一類(lèi)稱(chēng)為NP的查詢(xún)）是否也有易于找到的解（一類(lèi)稱(chēng)為P的問(wèn)題）。Aaronson撰寫(xiě)了大量關(guān)于 P/NP問(wèn)題的文章。在2009年發(fā)表的一篇論文中，他和高級研究所的數學(xué)家和計算機科學(xué)家、2021年阿貝爾獎的獲得者之一Avi Wigderson展示了證明類(lèi)P與類(lèi)NP不同的新障礙。Aaronson和Wigderson發(fā)現的障礙是迄今為止發(fā)現的第三個(gè)。

麻省理工學(xué)院的理論計算機科學(xué)家和數學(xué)家Virginia Vassilevska Williams說(shuō)：“在證明哪些方法行不通的方面，已經(jīng)取得了很多進(jìn)展……證明類(lèi)P不等于類(lèi)NP將是證明密碼學(xué)具有良好基礎的重要墊腳石，現在的密碼學(xué)基于未經(jīng)證實(shí)的假設?！逼渲兄痪褪?P 不等于 NP?！盀榱吮砻髂銦o(wú)法破解人們在現代計算機中需要的加密協(xié)議，包括那些保護我們的金融和其他在線(xiàn)個(gè)人信息安全的協(xié)議，你至少需要證明 P不等于NP?！盫assilevska指出。

“如果讓我用數字說(shuō)明說(shuō)有多大把握，我會(huì )說(shuō)P不等于NP的機會(huì )有97%或98%?！盇aronson說(shuō)。

攀登珠峰

尋找“千禧年大獎難題”的答案類(lèi)似于第一次嘗試攀登珠穆朗瑪峰，Ono表示：“在此過(guò)程中，有許多階梯，它們象征著(zhù)取得的進(jìn)展。真正的問(wèn)題是：你能到達大本營(yíng)嗎？就算可以，你也知道你仍然離峰頂很遠?！?/p>

對于諸如貝赫和斯維訥通-戴爾猜想猜想以及黎曼猜想等問(wèn)題，Ono說(shuō)：“顯然我們還在尼泊爾，”——登山的出發(fā)國之一——“但當我們到達大本營(yíng)之后呢？”數學(xué)家可能仍然需要額外的“裝備”才能到達頂峰?！拔覀儸F在正試圖弄清楚數學(xué)中這些‘高科技工具’和‘氧氣瓶’會(huì )是什么，它們將幫助我們達到頂峰?！監no說(shuō)。誰(shuí)知道在當前的研究和這些問(wèn)題的可能解決方案之間會(huì )遇到多少障礙？“也許有 20 個(gè)，也許我們比我們想象的更接近?！監no說(shuō)。

盡管這些問(wèn)題很難，數學(xué)家對長(cháng)期前景持樂(lè )觀(guān)態(tài)度?！拔曳浅ＯＭ?，在我擔任克雷研究所的所長(cháng)時(shí)，其中一個(gè)問(wèn)題會(huì )得到解決?！盉ridson說(shuō)。他指出 CMI 正在制定戰略，以最好的方式繼續引起對這些問(wèn)題的關(guān)注?！暗仨毘姓J，它們是非常困難的問(wèn)題，可能會(huì )在我的余生中繼續影響數學(xué)卻沒(méi)有得到解決?！?/p>

來(lái)源：《環(huán)球科學(xué)》