北京師范大學(xué)概率論研究群體已有50余年的傳統，經(jīng)過(guò)嚴士健和王梓坤及幾代人的努力，至2001年，已在交互作用粒子系統、測度值隨機過(guò)程、馬爾可夫過(guò)程的譜理論等方面取得系統的研究成果，并有相當的國際影響。這個(gè)僅有12人的團隊，在國際上被稱(chēng)為“馬氏過(guò)程的中國學(xué)派”或“北京學(xué)派”。

    自2002年起，該群體得到國家自然科學(xué)基金委創(chuàng )新研究群體基金長(cháng)達9年的資助。學(xué)術(shù)帶頭人、北京師范大學(xué)數學(xué)系教授陳木法回憶道，當年申請這一基金時(shí)，他一度認為他們這樣的“小學(xué)科、小團隊”不太可能獲得國家重大項目的支持。“當得到資助的消息傳來(lái)時(shí)，全體成員高興的同時(shí)更多是感慨，須知當時(shí)我們處于非常的困難時(shí)期，這項資助真是雪中送炭。”陳木法說(shuō)。

    正是在該基金的支持下，這一團隊以“探索與概率論相關(guān)的無(wú)窮維數學(xué)的理論基礎，特別是尋求新的數學(xué)工具和方法”為主要目標，取得更大的研究成果和可喜的新進(jìn)展。

    無(wú)窮維給研究工具帶來(lái)了巨大的挑戰，許多在有限維非常有力的工具對無(wú)限維不再適用，需要探索和發(fā)展新的研究工具。然而，無(wú)窮維與有限維之間有著(zhù)天然的聯(lián)系，特別是與分析、幾何、譜理論等緊密交融。在這一背景下，該群體發(fā)展了涉及多個(gè)領(lǐng)域的耦合方法、泛函不等式和斜卷積半群等代表性工具，且在馬氏過(guò)程的穩定性、新型Harnack不等式及應用、測度值過(guò)程的遍歷性、排隊網(wǎng)絡(luò )與反應擴散過(guò)程等方向的研究中取得了系統的成果，得到同行的大量引用。

    馬氏過(guò)程穩定性速度是群體研究的中心課題。“與先前馬氏過(guò)程定性理論的研究不同, 我們從事的定量研究遠為艱難，可視為馬氏過(guò)程發(fā)展的新階段。”陳木法說(shuō)，其研究的范圍是全方位的：離散或連續，無(wú)邊界或帶邊界，凸或非凸邊界，有限維或無(wú)窮維，遍歷或非遍歷，指數式或非指數式收斂等等，涉及概率、分析、幾何、物理、排隊網(wǎng)絡(luò )等多個(gè)領(lǐng)域，獲得各種穩定性的關(guān)系圖、主特征值的對偶變分公式、顯式判別法和顯式估計等系統成果。

    該群體的第二大成果是，在隨機分析與幾何領(lǐng)域，發(fā)展了耦合方法,建立了與維數無(wú)關(guān)的Harnack不等式；進(jìn)一步應用到強Feller性、概率密度估計、各種超壓縮性以及泛函不等式、傳輸不等式的研究。該方法比已有的分析與概率方法具有更廣的適用范圍。獲得帶邊流形上第二基本型的漸近公式，刻畫(huà)了該幾何量所確定的反射擴散，過(guò)程的分析性質(zhì)，引發(fā)了關(guān)于Neumann半群的一系列新成果；特別是對于非凸情形，給出了對數Sobolev不等式的顯式判別條件。在流形的路徑空間上構造了一大類(lèi)帶一般擴散系數的擴散過(guò)程；首次在跳過(guò)程的路徑空間上建立了Poincaré不等式。

    而在粒子系統與測度值分枝過(guò)程研究中，該團隊證明了隨機環(huán)境分枝粒子系統的極限定理，在此模型和仿射金融模型之間建立了聯(lián)系。證明任何具有一階矩的仿射過(guò)程都是正則的。證明了一般分枝機制的Dawson-Watanabe超過(guò)程分布的絕對連續性和超Lévy過(guò)程的瞬時(shí)傳播性質(zhì)。在帶跳隨機方程的Yamada-Watanabe判據、解的比較定理等問(wèn)題的研究上取得了實(shí)質(zhì)性進(jìn)展，由此證明了廣義Fleming-Viot隨機流的強存在性。在有限跳幅隨機環(huán)境隨機游動(dòng)中找到了分枝結構，得到了若干極限定理。建立了幾類(lèi)測度值過(guò)程的極限定理、中偏差和大偏差原理。

    創(chuàng )新成果的取得極大提高了我國概率論研究在國際上的地位。9年中，群體參與組織了中國概率統計年會(huì )、中美概率統計聯(lián)合研討會(huì )等會(huì )議，特別是群體組織了7屆“馬氏過(guò)程及相關(guān)論題”國際研討會(huì )，吸引了來(lái)自近20個(gè)國家和地區的名家及大批中青年專(zhuān)家前來(lái)參會(huì )。群體還邀請了3位客座教授，為來(lái)自全國各地的研究生和青年教師開(kāi)設前沿短課，邀請百余人次專(zhuān)家前來(lái)訪(fǎng)問(wèn)講學(xué)，為推動(dòng)我國概率論的發(fā)展做出了極大的努力。

    此外，該群體與法國布爾戈尼大學(xué)、德國比勒菲爾德大學(xué)和加拿大McMaster大學(xué)開(kāi)展了博士生聯(lián)合培養計劃，群體成員經(jīng)常到國內其他大學(xué)和國外科研院所訪(fǎng)問(wèn)或參加學(xué)術(shù)會(huì )議。通過(guò)“請進(jìn)來(lái)、走出去”，研究群體建立起與國內外同行合作交流的平臺，奠定了進(jìn)一步發(fā)展的基礎。在前沿短課講義的基礎上，客座教授方詩(shī)贊和馮水分別出版了兩本專(zhuān)著(zhù)，至此，在施普林格出版社《概率論及其應用》叢書(shū)已出版的33本專(zhuān)著(zhù)中，有3本書(shū)的作者來(lái)自這一群體。

    據該群體成員介紹，帶交互作用的無(wú)窮隨機系統這一所研究的課題相關(guān)研究目前在國際上的競爭非常激烈，而該領(lǐng)域研究涉及多個(gè)學(xué)科和領(lǐng)域，靠單兵作戰不可能完成，必須采取群體形式的戰略攻關(guān)。“因而，創(chuàng )新群體基金長(cháng)達9年的資助，激發(fā)了群體成員拼搏進(jìn)取的極高熱情，我們團結協(xié)作，才有了今天的成果。”他們如是說(shuō)。

    群體名片

    “概率論創(chuàng )新研究群體”：陳木法，王鳳雨，李增滬，張余輝，毛永華，洪文明，王穎喆，張梅，邵井海，馬宇韜，何輝。該群體圍繞“探索與概率論相關(guān)的無(wú)窮維數學(xué)的理論基礎，特別是尋求新的數學(xué)工具和方法”，在馬氏過(guò)程穩定性速度、隨機分析與幾何和測度值過(guò)程等方面取得了相當數量的成果，其中不乏原創(chuàng )的新發(fā)現和新方法，被國際同行高度評價(jià)和大量引用。